Яблоки-коробки и метры квадратные

Один молодой человек, осваивающий понятие размерности математических величин, задал детский вопрос: “Почему, когда умножаем 5 коробок на 10 яблок в каждой, получаем 50 яблок; когда умножаем 5 яблок в каждой из 10 коробок, получаем опять яблоки, а не коробки в количестве 50; а когда умножаем 5 метров на 10 метров, получаем 50 метров квадратных, а не просто метров? Почему в первых случаях не яблоко-коробки, и не коробки, а обязательно яблоки? Куда пропадает размерность?” Правильно поставленные детские вопросы очень полезны, они много кого доводили до исступления или гениальных открытий. Я дал простой и удовлетворительный для молодого человека ответ, а также привёл пример задачи, в которой умножение метров на метры так же даёт метры.

Следует вспомнить, что умножение — это сокращённая запись сложения. И когда мы умножаем одно число на другое, следует помнить, какая величина у нас обозначает  число объектов, а какая — число групп объектов с одинаковым количеством оных в каждой. Операция “умножения” — это когда мы сокращаем именно процесс подсчёта большого числа целевых объектов, через подсчёт числа более крупных и менее многочисленных групп, и потому именно первые определяют финальную размерность. Умножение происходит уже не по правилам натурального счёта, а по хитрым правилам получения из одних чисел других, в простейших случаях при помощи “таблицы умножения”. При этом не важно, как мы в нематематическом разговоре называем эти группы — коробками, множителями или абелевыми кольцами, и на каком языке. Так или иначе, таким именем в конкретном контексте мы лишь описываем каждые “несколько/много вещей”.

Когда же мы в результате умножения получаем “квадратные метры”, мы именно что считаем квадраты со стороной в метр, уложенные в данную фигуру, именно они для нас являются объектами счёта. Мы только сокращаем процедуру их подсчёта неким хитрым способом. Для прямоугольника эта геометрическая задача прекрасно решается умножением длины одной стороны на длинну другой, выраженных в одинаковых размерностях, что может быть также проинтерпретировано, как группировка “квадратов” в шеренги или столбцы и произведение уже известной операции, как описано выше.

Умножение “метров на метры” может также давать в результате метры, например в такого рода задачах: “Для производства одного метра каната нужно 5 метров жгута. Сколько метров жгута нужно для производства 10 метров каната?” Сами найдите ответ и подвох.