Яблоки-коробки и метры квадратные

Один молодой человек, осваивающий понятие размерности математических величин, задал детский вопрос: “Почему, когда умножаем 5 коробок на 10 яблок в каждой, получаем 50 яблок; когда умножаем 5 яблок в каждой из 10 коробок, получаем опять яблоки, а не коробки в количестве 50; а когда умножаем 5 метров на 10 метров, получаем 50 метров квадратных, а не просто метров? Почему в первых случаях не яблоко-коробки, и не коробки, а обязательно яблоки? Куда пропадает размерность?” Правильно поставленные детские вопросы очень полезны, они много кого доводили до исступления или гениальных открытий. Я дал простой и удовлетворительный для молодого человека ответ, а также привёл пример задачи, в которой умножение метров на метры так же даёт метры.

Следует вспомнить, что умножение — это сокращённая запись сложения. И когда мы умножаем одно число на другое, следует помнить, какая величина у нас обозначает  число объектов, а какая — число групп объектов с одинаковым количеством оных в каждой. Операция “умножения” — это когда мы сокращаем именно процесс подсчёта большого числа целевых объектов, через подсчёт числа более крупных и менее многочисленных групп, и потому именно первые определяют финальную размерность. Умножение происходит уже не по правилам натурального счёта, а по хитрым правилам получения из одних чисел других, в простейших случаях при помощи “таблицы умножения”. При этом не важно, как мы в нематематическом разговоре называем эти группы — коробками, множителями или абелевыми кольцами, и на каком языке. Так или иначе, таким именем в конкретном контексте мы лишь описываем каждые “несколько/много вещей”.

Когда же мы в результате умножения получаем “квадратные метры”, мы именно что считаем квадраты со стороной в метр, уложенные в данную фигуру, именно они для нас являются объектами счёта. Мы только сокращаем процедуру их подсчёта неким хитрым способом. Для прямоугольника эта геометрическая задача прекрасно решается умножением длины одной стороны на длинну другой, выраженных в одинаковых размерностях, что может быть также проинтерпретировано, как группировка “квадратов” в шеренги или столбцы и произведение уже известной операции, как описано выше.

Умножение “метров на метры” может также давать в результате метры, например в такого рода задачах: “Для производства одного метра каната нужно 5 метров жгута. Сколько метров жгута нужно для производства 10 метров каната?” Сами найдите ответ и подвох.

Читайте также:

комментария 2

  1. 5 коробок по 10 яблок в каждой — это умножение 5 коробок на 10 яблок/коробку, в результате чего коробки в размерности сокращаются, и остаются только яблоки.
    То же самое с канатом: тот факт, что для производства 1 метра каната нужно 5 метров жгута, означает, что размерности у этой пятёрки вообще нет (формально — метр/метр, т.е. просто «единица»). И когда мы умножаем эту безразмерную 5 на 10 метров, получаем 50 метров.
    Умножение физических величин — это не совсем то же самое, что сложение (хотя формально, конечно, можно его заменить сложением), поскольку пространство у нас получается неметрическое, и по осям откладываются разные вещи. Выходит, что мы считаем «квадраты» в каких-то странных координатах, где по X откладываются, например, секунды, а по Y — амперы. А площадь сама оказывается физической величиной с другим смыслом, несводимым к алгебраическим операциям с величинами по одной из осей.

  2. Kent Bur:

    ваш коммент весьма правилен!

    ***То же самое с канатом: тот факт, что для производства 1 метра каната нужно 5 метров жгута, означает, что размерности у этой пятёрки вообще нет (формально — метр/метр, т.е. просто «единица»). И когда мы умножаем эту безразмерную 5 на 10 метров, получаем 50 метров

    но тут ситуация иная
    тут фактически метры жгута более мелкая единица,
    типа 1см это 10 мм, сколько миллиметров в 10 см

    аналогично и с коробками
    1коробка содержит 10 яблок
    сколько яблок содержится в 5 коробках?

    смотрим величину КоробкоЯблоковость=КЯ=10 яблок/коробка
    можно ее назвать Плотность_Коробок_с_яблоками измеренных в яблоках
    ПКЯ= 10 яблок/коробка

    Число яблок = 5 коробка * 10 яблок/коробка=50 яблок

    возможен иной подход и тут, что приведет опять же к верному результаты

    Число яблок = 5 коробка * 10 яблок=50 (яблок*коробок)

    но у нас есть коэффициент перевода яблок в коробки и коробок в яблоки
    назовем его скорость света — шутка, но эта шутка нам пригодится
    назовем его Коэффициент Трансформации=КТ(яблоки, коробки)
    КТ(яблоки, коробки)=10 яблок/коробка

    вычислим какому количеству яблок соответствует величина 5 коробок:
    5 коробок*КТ(яблоки, коробки)=5 коробок*10 яблок/коробка=50 яблок

    вычислим какому количеству коробок соответствует 50 яблок:
    50 яблок * (1/КТ(яблоки, коробки)) = 50 яблок * (1/10 коробка/яблок)= 5 коробок

    с канатом и жгутом ситуация иная, хотя возможно использовать и подход с яблоко-коробками

Добавить комментарий для Kent Bur Отменить ответ